元日は、１月１日の１日の全時間帯で、
１月２日になるまでの２４時間を指します。

元旦は、元日の朝・夜明け・日の出頃の事です。
なお元旦の「旦」は、
下の線が地平線を、上の日は太陽を表していて、
「地平線から昇る太陽」を表現した漢字なのだそうです。
とても美しい意味が込められているんですね。